第9回:定積分、f(x)=0を満たすxを求める

理系の分野で計算したいのになかなか難しいというのは、微分方程式だけではありません。
そういう問題の解き方を紹介していきます。

積分

積分計算も理系の分野で出てくる問題ですが、手計算では難しいことが多いです。
定積分も、Excelで解くことができます。
これも微分方程式と同様に数学的に厳密な答えは得られないのですが、実用上問題ない程度には答えを求めることができます。
また、これも微分方程式と同様に、シンプルな方法に少し工夫をすることで精度を上げることができます。
実習を通して、Excelでの積分計算を学びましょう。

実習:
Excelの積分計算
Excelの積分計算2(台形公式)

f(x)=0を満たすxを求める

「関数:f(x)=x2-5x+6 に、x=2 を代入しなさい。」という問題はそれほど難しくありません。

f(2)=22-5×2+6=4-10+6=0

ですね。

逆に「x2-5x+6=0を満たすxは何でしょう?」という問題は少し難しいです。
因数分解して、

x2-5x+6=(x-2)(x-3)

だから、

答え x=2 または x=3  です。
あるいは二次関数の解の公式を使う方法もありますが、いずれもちょっと難しいです。

「2x3-5x2-x+6=0満たすxは何でしょう?」という問題はどうでしょう。
因数分解して、

2x3-5x2-x+6=(2x-3)(x+1)(x-2)

だから、

答え x=1.5 または x=-1 または x=2 ですがこの因数分解を見つけるのはちょっと苦労します。

ましてや「2sin(x)-(x÷3)=0満たすxは何でしょう?」なんて問題は、どうやって解けばいいのかわかりません。

それでも数学のテストでは、あることに気が付けばきれいな答えが出てくるようになっているのが普通ですが、現実の世界はそんなに都合よくできていません。
工学の分野で、何かを組み立てる場合の設計図を書くときにこのようなの問題が出てくることがありますが、「解けません」ではすみません。

これもExcelで、数学的に厳密ではないですが、ある程度正しい答えを求めることができます。
この方法を紹介します。

尚、右辺は0でないといけないのか? と思うかもしれません。
例えば「2x3-13x2+27x=18満たすxは何でしょう?」という問題は、移項して
「2x3-13x2+27x-18=0満たすxは何でしょう?」と読み替えればいいわけです。
だから、f(x)=0を満たすxを求めるアリゴリズムがわかれば、右辺が0でなくても対応できます。

実習:
関数f(x)=0を満たすxを求める(二分法)
二分法のマクロ





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